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前沿拓展：

導數公式推導過程

lim(Δy/Δx)Δx->0=lim{[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx}Δx->0=lim[2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx]Δx->0=lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx/2]Δx->0由cos(x)的連續性，有limcos(x+Δx/2) = cos(x)Δx->0以及lim[sin(Δx/2)/Δx/2] = 1Δx->0故得lim(Δy/Δx)Δx->0=limcos(x+Δx/2)*lim[sin(Δx/2)/Δx/2]Δx->0 Δx->0=cos(x)*1=cos(x)

1 微積分基本定理

微積分基本定理也稱為牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula），把一個函數的導數與其積分聯系到了一起。

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

這個定理可以表述為兩個部分。

第一部分：導數與定積分互為逆運算

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

第二部分：用反導數計算定積分

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

2 幾何推導導數與定積分互為逆運算

對于圖為曲線的連續函數y=f(x)，x的每個值都有一個對應的面積函數A(x)，表示曲線下面0到x之間的面積。

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

在x和x+h之間的曲線下面積可以通過找到0和x+h之間的面積，然后減去0和x之間的面積來計算，換句話說，這個“紅色帶”的面積將是A(x+h)-A(x)。

還有另一種方法來估計同一條“紅色帶”的面積。如上圖所示，h*f(x)是矩形的面積，該矩形的面積與此條“紅色帶”的大小大致相同：

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

如果加上右上角紅色曲線三角部分Excess，則可以準確表述為：

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

推導出：

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

h|f(x+h)-f(x)|為右上角小長方形的面積。|Red Excess|<=小長方形面積

也就是：

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

當h→0上，上式右值→0，相應的左值→0。所以有

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

也就是f(x) = A′(x)

3 公式推導微積分基本定理

3.1 準備知識

3.1.1 介值定理

介值定理，又名中間值定理，是閉區間上連續函數的性質之一。在數學分析中，介值定理表明，如果定義域為[a，b]的連續函數f，那么在區間內的某個點，它可以在f（a）和f（b）之間取任何值，也就是說，介值定理是在連續函數的一個區間內的函數值肯定介于最大值和最小值之間。

3.1.2 積分估值定理

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

3.1.3 積分中值定理

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

積分中值定理的幾何解釋：

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

3.2 公式推導導數與定積分互為逆運算

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

推導微積分基本定理的第二部分：

導數公式推導過程(基本初等函數導數公式推導過程)

－End－

拓展知識：

導數公式推導過程

導數公式推導過程：

1、顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

2、這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到y=e^x y=e^x和y=lnx y=1/x這兩個結果后能用復合函數的求導給予證明。

⒊、y=a^x，y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），y/△x=a^x(a^△x-1）／△x。

如果直接令△x→0，是不能導出導函數的，必須設一個輔助的函數β＝a^△x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道：△x=loga（1+β）。

所以（a^△x-1）／△x=β／loga（1+β）＝1/loga（1+β）＾1/β。

顯然，當△x→0時，β也是趨向于0的。而limβ→0（1+β）＾1/β＝e，所以limβ→01/loga（1+β）＾1/β＝1/logae=lna。

把這個結果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）／△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，當a=e時有y=e^x y=e^x。

4、y=logax，△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga/x，△y/△x=loga/x。

因為當△x→0時，△x/x趨向于0而x/△x趨向于∞，所以lim△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有lim△x→0△y/△x=logae/x，可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。

這時可以進行y=x^n y=nx^(n-1）的推導了。因為y=x^n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx。

所以y'=e^nlnx·（nlnx)=x^n/x=nx^(n-1）。

5、y=sinx。

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）。

△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）／△x=cos(x+△x/2）sin（△x/2）／（△x/2）。

所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2）lim△x→0sin（△x/2）／（△x/2）＝cosx。

6、類似地，可以導出y=cosx y=-sinx。

7、y=tanx=sinx/cosx。

y=/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x。

8、y=cotx=cosx/sinx，y=/sin^2x=-1/sin^2x。

9、y=arcsinx，x=siny，x=cosy，y=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2。

10、y=arccosx，x=cosy，x=siny，y=1/x=1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2。

11、y=arctanx，x=tany，x=1/cos^2y，y=1/x=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2。

12、y=arccotx，x=coty，x=-1/sin^2y。

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